假设V=终极L，则连续统假设为真，并且所有关于集合论的独立性问题都可以还原为有关更大无穷的公理，它还为集合论提供了一个对科恩力破免疫的公理化基础。在这个意义上，这将是哥德尔纲领的一个实现。更进一步，如果V=终极L是真的，那么就存在一个独特的集合论模型，从某种意义上说它就是真实的集合宇宙。这-事实本身说明集合的宇宙是一个确定的客观实在，可以看作是支持柏拉图主义的证据。
本文打算讨论这样的一个问题:哥德尔所坚持的柏拉图主义如何影响着在他之后的数学基础研究，特别是集合论的研究。一方面，将柏拉图主义作为工作假设在很大程度上影响了集合论发展的走向，另一方面，这些研究的一些出人意料而又极具意义的重大进展又在一定程度上为柏拉图主义做出了有力的辩护。哲学和数学之间这样显明的关联是不多见的，在我们看来对这类关联的研究是数学哲学中最有意义的课题之一。
在讨论正题之前，针对数学中的柏拉图主义和数学哲学研究的方法论问题，我们想先谈一点看法，因为在现有的数学哲学研究中，大家的出发点和研究问题方式是很不相同的。
首先，本文不打算就哥德尔本人的强实在论立场作深入的讨论。哥德尔的柏拉图主义，在他1944年的“罗素的数理逻辑”([2])中就有所显示。在罗素篇中，哥德尔引用了罗素将逻辑学与自然科学在本体论上的类比，“逻辑学一如动物学，它研究实在的世界，不过是研究其更抽象、更一般的特点而已”([6]);提到在认识论上的类比，逻辑和数学的公理不必非得具有自在的显明性不可，而是可以从如下事实获得核证，它们的后承与数学史的发展中被发现为自明的东西相符合。哥德尔评论道:“这个观点已然大体上为后续的发展所核证，而将来可望获得更多的核证”。近些年集合论的发展，似乎为哥德尔的预言做了进一步的核证。如同罗素(早期的)这种实在论观点一样，我们认为对科学这个概念不能仅仅理解为实验科学或自然科学，而是要把数学这样的以抽象概念为研究对象的科学包括在内。因此，数学哲学与物理学哲学和生物学哲学一样，是科学哲学这一大类中的一员，而不是分析哲学或者其他什么哲学的一个分支。
在方法论上，仅靠分析数学的语言只能把握数学思想(或是数学哲学思想)很小的一部分，而且通常是在该数学领域发展成熟之后才可以进行。元语言和对象语言的划分特别能说明这一点。虽然，理论上我们在数学中可以使用严格化的形式语言作为对象语言，但是却不可能有完全形式化的元语言。当我们对形式化的数学做分析时，工作于其中的元理论是非形式化的，这个元理论的边界卜分模糊。虽然有哲学家认为元理论包含了严格有穷的数学，但没有证据表明，严格有穷的数学就是数学的全部。即便是在形式系统内部，数学家的工作也不是借助推理的规则推演出那些定理。更多的情况是通过对数学世界的某种直观或认知，猜想或者断言某些事实是真的，然后再以证明的方式去验证。本文涉及的集合论中的-些最新的进展特别表明了这一点。
在方法论的另一方面，我们认为把数学实践统统归结到大脑神经元的活动对数学哲学的研究作用不大。就像物理学哲学不会把物理学家的大脑作为研究对象一样，分析数学家的大脑也无助于数学真理的获得。有众多的哲学理论试图将数学语言中有关数学对象，特别是无穷对象的存在断言进行重新解释，使其本质上成为谈论某些有穷的物理对象，如符号，或大脑内部某种状态的言语。但是，迄今为止，没有任何哲学理论能如其声称的那样完成这种解释。尽管我们相信脑科学的发展会对数学哲学产生根本性的影响，但今天的脑科学知识距离分析人的思维活动还差得很远。现在就期待脑神经科学家来给数学哲学问题提供答案是对问题的过度简化。在这种简化下，人类的所有思维，无论是物理学、数学还是文学都(在当今的科技条件下)毫无区别。一种健全的数学哲学最起码要与数学实践密切相关，否则只能成为文字游戏。
抱着这样的信念，我们就不可避免地要密切关注当代数学的进展。任何有关哲学的论断，都要尽可能地在已有或正在取得的数学成果中寻找相关的“证据”这里的情形可以与物理学哲学做一个比较。一大部分的物理学哲学研究，如果不是全部的话，与近百年来物理学在一些基础问题上的重要理论和进展密切相关。但正如科纳(P.Koellner)所指出的，数学哲学中绝大多数工作却相反，它们与当代数学的发展几乎毫无关系。([5])造成这种局面的原因十分复杂，不属于本文讨论的范围。但是，十分确定的是:加强这个方向的研究，保持数学哲学与数学的最新进展的密切联系，应该能期待巨大的收获。当然，这也不可避免地使得这类数学哲学研究更为数学化。
最后，文章中的数学定义和定理，从某种意义上，是我们为论证而搜集的证据。借助这些定理，读者可以更好地把握概念间的关系，大致看出当今集合论发展的脉络，从而体会出其中的哲学意蕴。郝兆宽.杨跃柏拉图主义与集合论终极宇宙。
1独立性现象与数学真理
集合论中充满了独立性现象。在这些现象背后的是有关集合论真理的哲学问题，即:
一个集合论语言中的语句σ是真的，这是什么意思
有一派观点认为σ是真的当且仅当。在ZFC中可证。
我的感觉是，除了那些一致性命题，ZFC穷尽了我们的直观，所以，证明意味着在ZFC内证明。([7]，第3页)
而这就意味着那些独立于ZFC的语句没有真假可言。
这是一个有重大影响的选择。其中最重要的影响就是承认CH本身是无意义的，而CH也许是我们对不可数集合所能提出的第一个重要问题。([1]，第13页)
这样的立场被称为“形式主义”。与之相对应的立场是“柏拉图主义”，它认为一个集合论语句为真当且仅当它描述了集合宇宙中的一个客观事实。独立性命题产生的原因是我们对客观数学世界的认识不够完备。但这不意味着这些命题本身是没有真假的无意义命题，相反随着对集合宇宙认识的不断深入，我们最终会决定它们的真假。
基于此处采取的立场，从已接受的集合论公理出发，一个有关康托猜想的不可判定性的证明(与一个对的超越性的证明完全不同)决不是问题的解决。.集合论概念和定理描述了一个完全确定的实在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的对它的不可判定性，只能意味着这些公理没有完备地描述那个实在。这一信念绝非空想，因为有可能指出一些方向，在其中能得到对一些问题的判定，而这些问题对于通常的公理是不可判定的。([4]，第260页)
把所有独立于ZFC的命题都看作无意义的，这种观点有一个困难就是这些命题在认识论地位上不是完全等价的。例如，有人认为CH无意义，因为“任意实数的子集”这个概念模糊不清。但是，几乎不会有人认为“所有投影集都是可决定的(PD)”无意义，因为这其中并不涉及“任意实数子集”的概念，而只是谈论了投影集这样的具体可定义的数学对象。但PD与CH一样，是独立于ZFC的。因此，武丁(H.Woodin)向形式主义提出了如下挑战:
……(形式主义)这种立场要站得住脚，那就或者集合论中类似的不可解问题也必须被看作是无意义的，或者必须解释为什么连续统假设的问题是与那些问题不同的。我指的是那些描述集合论的经典问题，它们在连续统假设提出不久也被提了出来。([8]，第29页)这要求人们进一步仔细分析PD与CH:
定义1.1无穷基数δ是武丁基数当且仅当对任意函数f:δ→δ，存在初等嵌入j:V→M，如果κ=crt(j)，则f[κ]M并且Vj(f)(x)M。我们用
W={δ|δ是武丁基数}
表示全体武丁基数的类。
1985年武丁证明了以下定理:
定理1.2(武丁，1985)如果M是ZFC的传递模型，并且M“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，
VM＜VM[G].
ω+1ω+1
VM＜VM[G]蕴涵着VM和VM[G]
ω+1ω+1ω+1ω+1
初等等价，因此以上定理就表明，如果存在任意大的武丁基数，则任何形如“Vω+1╞σ”这样的句子都不能用(集合)力迫的方法证明其独立性。此时我们称V11的一阶理论Th(V1)是脱殊绝对的。这一结果的意义在于，大基数公理(存在任意大武丁基数)可以给有关Th(V1)的所有问题以确定的回答。又由于PD，乃至经典描述集合论中所有有关投影集的问题都属于Th(V+1)，这也意味着在大基数公理下，它们都有确定的真值，而不再是独立的。特别地，对PD马丁和斯蒂尔(MartinandSteel)证明了:
定理13(马丁、斯蒂尔，1985)如果存在无穷多武丁基数，则PD成立。进而:
推论1.4对任意传递模型M，如果MFC+“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，都有M[G]╞PD.
反观CH，列维(Levy)和索洛维(Solovay)1967年证明了:
定理1.5(列维、索洛维，1967)令为任意一条已知的大基数公理，假设M是ZFC的传递模型并且M╞σL，则存在M脱殊滤G和H，M[G]╞σL+CH而M[H]╞σL+┐CH。
比较推论1.4和定理15，我们看到:在PD与CH之间确实存在着带有根本意义的差别。与PD不同，大基数公理对CH的独立性无能为力。这种差别是否可以帮助形式主义回应以上挑战呢
2多宇宙真理观与9猜想
我们首先将形式主义可能的回应严格描述出来，这需要一系列的定义。
定义2.1令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊多宇宙Vm为满足以下条件的最小模型类:
1.M∈VM；
2.如果N∈VM，而N‘=N[G]是N的脱殊扩张，则N‘∈VM;
3.如果N∈VM，而N=N‘[G]是N‘的脱殊扩张，则N‘∈Vm。
简单说，Vm是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。
【在阅读模式下不能自动加载下一页，请<退出阅读模式>后点击下一页阅读。】